Productos de Binomios

Con término común Conjugados Al cuadrado
(x+a)(x+b) (x+a)(x-a) (x-+a)2
= x2+(a+b)x+ab = x2-a2 =x2+-2ax+a2

Ejemplo con término común

a) (x+2)(x+.5) = X2+(2+o.5) x +2 (.5) = X2 + 2.5x+1

Multiplicando binomios conjugados

b) (x+1)(x-1)= X2-6x+9

Elevando un binomio al cuadrado:

c) (x-3)2= X2-6x+9

EJERCICIOS:

1) (5x+4)(5x-1)= 25X2+15x-4

2) (X2-1)(X2-3) = X2-4X2+3

La realización de una expresión algebráica

Para realizarse una expreción algebráica deben obserarse las siguientes reglas:

1) Primero se eliminan los signos de agrupacion "parentesis, corchetes, llaves" realizando las operaciones indicadas, se inicia por los signos que se encuentran más hacia el interior de la expresión.

2) Después se efectuan las potencias

3) Luego las operaciones de multiplicacion y división

4) Finalmente se realizan las sumas o restas.

5) Si se encuentran dos operaciones de la misma jerarquía en la expresión ser realiza de izquierda a derecha.

Ejemplo: 2+3x4= 20 (incorrecto
2+3x4=14 (correcto)

Primero se realiza la multiplicación y luego la suma porque asi dice la jeraquía de operaciones.

Ejemplo:

1)1x2-1+4=5
2) 3/2x5+3=8

TRANSFORMACIONES ALGEBRÁICAS

**POLINOMIOS**
Las variables numéricas representan números y las expresiones algebráicas indican operacione con ellos, aritmáticas y lógicas.

Expresión numérica Expresión algebráica
3=2+1 x al cuadrado = 4

Tipos de Igualdades Algebráicas:

Valores de loas variables que hacen cierta la igualdad.

Identidad Ecuación
Todos Algunos o ninguno

a+a = 2a es una identidad
x cuadrada = 4 es una ecuación

Propiedades aritméticas de la igualdad

1- a=b <--------------> a+c= b+c

2- a=b <--------------> ac=bc, c = 0

Ejemplo: Si x=6 entonces x+2= 6+2 y asi recíprocamente (propiedad 1) por la segunda propiedad, de x=1 se obtiene 3x=3 y reciprocamente.

Propiedades lógicas de la igualdad de números reales

1) a=a Propiedad reflexiva

2) a=b es lo mismo que b=a - Propiedad simétrica

3) si a=b y b=c entonces a=c -Propiedad transitiva

4) si p(a)es cierta y a=b ,p(b)- Propiedad de sustitución.

Ejemplo: ¿Cuálesla propiedad lógica de la igualdad? Justifica cada conclusión

SI.... ENTONCES ....

a) 2=x <---------------------> x=2 Propiedad reflexiva

b) 5(x+3)= 5x+15 <-----------> 5x+15 = 5(x+3) Propiedad simétrica

c) 16= 4 al cuadrado y 4al cuadrado = 2 a la cuarta<--> 16=2 a la cuarta Propiedad transitiva

d) 4 es el número par y 4= 2 al cuadrado <---> 2 al cuadrado es número par- P.de sustución

Series y sucesiones

La sucesiones aritmeticas ,son secuencias ordenadas de númeron que tienen todos con su antecesor la misma diferencia de suceción: 1, 3, 5, 7, 9, 11 (en esta siceción entre cada número se lleva una diferencia de dos números).

Sumando la diferencia a cada numero se obtiee el siguiente número:

Segundo Tercero Cuarto
1+2(1)=3 1+2(2)=5 1+2(3)=7

1- Los números de la sucesíon son sus términos
2- La diferencia común es la resta de un númeron con el anterior
3-1=2, 5-3=2

3- Una sucesión es finita si tiene "n" términos, en caso contrario es infinito.

4- El término en el lugar "n" se llama
n-ésimo término.
La expresión para obtenerlo es:
Término nésimo {an=a1+d(n-1)} Un término d primero + diferencia de n-1 vez.

EJEMPLO:
Escribir los primeros 2 números de la sucesión:

a1= 2 an=a1+d
d= 1 an1=2+(-1)=1
an2=1+(-1)= 0
an3=0+(-1)=-1
an4=-1+(-1)=-2
an5=-2+(-1)=-3

Sucesión es = 1, 0 , -1, -2, -3

SUCESIONES ARTIMETICAS

an+b

A y B son constantes. A es la diferebcua entre un término y el anterior. N es el número deseado. (esta fórmula es útil cuando se dan algunos términos de la sucesión y se debe calcular la expresiòn algebráica del término n-ésimo.

SUCESION GEOMÉTRICA

Sus términos tienen la forma:

a1, a2, a3, a4..... an

a1,a1r,a1r2, a1r3, ...a1 rn4

La suma sw an sn de los términos de una sucesión es una serie .

Sucesión Serie

2,6,12,24,48, 3+6+12+24= S5 = 93

RAZÓN TASA Y PROPORCION

• Razón- Es la comparacion de 2 cantidades de igual unidad, Se representa como fraccion, separado por dos puntos o por la letra "a".

Ejemplo: 25/1 , 25:1, 25 a 1

• Tasa- Es la comparacion de dos unidades de diferente unidad.

Ejemplo: a,b diferente a c como 25km/1Lt.

• Proporción- Dos razones iguales son una proporción. Dos tasas iguales son una proporción.

Ejemplo: 2/3= 14/x ( regla de tres) = a 21

IMPORTANTE: REGLAS DE DESPEJE

si esta multiplicando pasa dividiendo y vice versa

si esta sumando pasa restando y vice versa

EJERCICIOS:

1) RAZÓN:¿Qué tanto porciento es 25.29 de 6.5?

25.29/6.5= 3.89 por (el 100%) es igual a 389%.

2) TAZA POR DIFERENTES UNIDADES: Un auto recorre en una hora y cuarto 100km ¿Cuánto reorrerá en 5 horas?

Un cuarto de hora en decimales es igual a 1.25

entonces 1.25hrs = 5hrs ___________ = 400km entonces en 5 horas recorre 400 km

100km = x km

3) Proporción: En la prepa 208 alumnos cursan el 6to semestre que representan 26% ¿ Cúantos alumnos tiene la prepa?

208 alumnos x alumnos de la prepa _______________=__________________ = 800 alumnos en total en la prepa.

26% que representan 100% de alumnos en total

Álgebra- Literales.

Álgebra y Literales

Álgebra elemental es la forma más básica del álgebra. A diferencia de la aritmética, en donde solo se usan los números y sus operaciones aritméticas (como +, −, ×, ÷), en álgebra los números son representados por símbolos (usualmente a, b,c, x, y, z).

Esto es útil porque:

• Permite la formulación general de leyes de aritmética (como a + b = b + a), y esto es el primer paso para una exploración sistemática de las propiedades de los números reales.
  
• Permite referirse a números "desconocidos", formular ecuaciones y el estudio de cómo resolverlas.
  
• Permite la formulación de relaciones funcionales.

EJEMPLOS:

1) a+4=4a

2) 6(a)-4=2a

Para formular y entender expresiones algebráicas es importante conocer el lenguaje algebráico.

Ejemplos:

• Tres veces un número más cinco: 3(a)+5
• Tres veces la suma de un número mas cinco: 3(a+5)
• Dos veces la suma de a y b: 2(a+b)
• Treinta disminuido en tres veces c : 30-3(c)
• Cincuenta menos el producto de diez por p : 50-10(p)

"Problemas algebráicos"

El idioma del álgebra es la ecuación. El científico Isaac Newton, en su manual de álgebra titulado Aritmética Universal escribió: "Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades basta con traducir dicho problema, del inglés u otra lengua al idioma algebraico"

EJEMPLOS:

1)En un taller fueron reparados 40 vehículos, entre coches y motos. El número total de ruedas de los vehículos reparados fue de 100. ¿Cuántos coches y cuántas motos se repararon?

100 RUEDAS

40 vehiculos

cada coche tiene 4 ruedas y las motos 2 ruedas entonces:

100x-40y= 60 entonces si 40y fueron reparados 10 fueron coches y 30 fueron motos.

2) Yo tengo el doble de casettes que juan y ambos tenemos 15. ¿Cuantos tengo mas que juan?

el doble de cds es 2x mas ¿? es igual a lo qe tienen ambos que es 15 entonces...

2x+x= 15

3x=15

x=15/3

x=5 entonces el doble de cds que tengo es 5.

3) Encuentra dos numeros sabiendo que la suma es igual a 24, y sabiendo que un número es el triple de otra

el triple es 3x mas x (¿?) que es igual a 24 entonces...

3x+x=24

4x=24

x=24/4

x= 6 es el primer número

y el triple de ese numero sería

6 por 3

6(3)= 18 es el triple del primer número.