SOLUCION DE ECUACIONES CUADRATICAS

Se llama ecuación cuadrática, o de segundo grado, con una incógnita a toda aquella que tiene la forma general reducida ax2 + bx + c = 0, siendo a ¹ 0. El coeficiente a se llama cuadrático o principal, b es el coeficiente lineal y c el término independiente.
Si todos los coeficientes de la ecuación son distintos de cero, se dice que es completa.
Si el coeficiente lineal o el término constante son nulos, la ecuación es incompleta.

Resolución y discusión de ecuaciones cuadráticas
En el planteamiento de la resolución de una ecuación de segundo grado con una incógnita pueden darse varios casos:
Si la ecuación es incompleta sin coeficiente lineal ni término independiente (ax2 = 0), la solución es x = 0 (doble).
Cuando es incompleta sin coeficiente lineal (ax2 + c = 0), las raíces son
Cuando es incompleta sin término independiente (ax2 + bx = 0), tiene dos raíces: x1 = 0, y x2 = -b/a.
Una ecuación completa tiene dos raíces, dadas por la fórmula:
El valor b2 - 4ac se llama discriminante, y de su estudio se deduce que si es mayor que cero, la ecuación tiene dos raíces reales distintas; si es igual a cero, existe una única solución doble dada por x = -b/2a, y si es menor que cero, las soluciones pertenecen al conjunto de los números complejos (no son reales).

DETERMINANTES DE SISTEMAS LINEALES

Determinantes Lineales de 2x2 (18 de noviembre del 2009)
Con cada par de ecuaciones lineales se asocian tres arreglos númericos llamados determinantes que constan de renglones y columnas.
El determinante del sistema (BETA)- Se forma con los coeficientes de x, y,
Sistema Determinantes del sistema
3x+y=5 BETA= 3 1
4x+2y=8 4 2
Sustituyendo los coeficientes de x, por la columna de terminos costantes, se escribe el determinate de x igual para y
BETA x = 5 1 BETA y = 3 5
8 2 4 8
Cada uno de estos arreglos numericos tiene un valor, para obtenerlo resta a multiplicacion de la diagonal descendiente la multiplicacion ascendente.
Dividiendo el determinante de cada variable entre el determinante

FUNCIONES Y ECUACIONES LINEALES

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805–1859), quien escribió: “Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido”.

Observaciones:
En una función f: A → B todo elemento x E A tiene una y solo una imagen y E B.
Un elemento y E B puede:
No ser imagen de ningún elemento x E A Ser imagen de un elemento x E A Ser imagen de varios elementos x E A. La relación inversa f-1 de una función f puede no ser una función.
Formas de expresión de una función Mediante el uso de tablas:
X - Y
-1 - 0
½ - 1
2 - 1
0 - ¼
1 - 4
Gráficamente: cabe aclarar que llamamos gráfica de una función real de variable real al conjunto de puntos del plano que referidos a un sistema de ejes cartesianos ortogonales tienen coordenadas [x, f (x)] donde x E A.

Productos de Binomios

Con término común Conjugados Al cuadrado
(x+a)(x+b) (x+a)(x-a) (x-+a)2
= x2+(a+b)x+ab = x2-a2 =x2+-2ax+a2

Ejemplo con término común

a) (x+2)(x+.5) = X2+(2+o.5) x +2 (.5) = X2 + 2.5x+1

Multiplicando binomios conjugados

b) (x+1)(x-1)= X2-6x+9

Elevando un binomio al cuadrado:

c) (x-3)2= X2-6x+9

EJERCICIOS:

1) (5x+4)(5x-1)= 25X2+15x-4

2) (X2-1)(X2-3) = X2-4X2+3

La realización de una expresión algebráica

Para realizarse una expreción algebráica deben obserarse las siguientes reglas:

1) Primero se eliminan los signos de agrupacion "parentesis, corchetes, llaves" realizando las operaciones indicadas, se inicia por los signos que se encuentran más hacia el interior de la expresión.

2) Después se efectuan las potencias

3) Luego las operaciones de multiplicacion y división

4) Finalmente se realizan las sumas o restas.

5) Si se encuentran dos operaciones de la misma jerarquía en la expresión ser realiza de izquierda a derecha.

Ejemplo: 2+3x4= 20 (incorrecto
2+3x4=14 (correcto)

Primero se realiza la multiplicación y luego la suma porque asi dice la jeraquía de operaciones.

Ejemplo:

1)1x2-1+4=5
2) 3/2x5+3=8

TRANSFORMACIONES ALGEBRÁICAS

**POLINOMIOS**
Las variables numéricas representan números y las expresiones algebráicas indican operacione con ellos, aritmáticas y lógicas.

Expresión numérica Expresión algebráica
3=2+1 x al cuadrado = 4

Tipos de Igualdades Algebráicas:

Valores de loas variables que hacen cierta la igualdad.

Identidad Ecuación
Todos Algunos o ninguno

a+a = 2a es una identidad
x cuadrada = 4 es una ecuación

Propiedades aritméticas de la igualdad

1- a=b <--------------> a+c= b+c

2- a=b <--------------> ac=bc, c = 0

Ejemplo: Si x=6 entonces x+2= 6+2 y asi recíprocamente (propiedad 1) por la segunda propiedad, de x=1 se obtiene 3x=3 y reciprocamente.

Propiedades lógicas de la igualdad de números reales

1) a=a Propiedad reflexiva

2) a=b es lo mismo que b=a - Propiedad simétrica

3) si a=b y b=c entonces a=c -Propiedad transitiva

4) si p(a)es cierta y a=b ,p(b)- Propiedad de sustitución.

Ejemplo: ¿Cuálesla propiedad lógica de la igualdad? Justifica cada conclusión

SI.... ENTONCES ....

a) 2=x <---------------------> x=2 Propiedad reflexiva

b) 5(x+3)= 5x+15 <-----------> 5x+15 = 5(x+3) Propiedad simétrica

c) 16= 4 al cuadrado y 4al cuadrado = 2 a la cuarta<--> 16=2 a la cuarta Propiedad transitiva

d) 4 es el número par y 4= 2 al cuadrado <---> 2 al cuadrado es número par- P.de sustución

Series y sucesiones

La sucesiones aritmeticas ,son secuencias ordenadas de númeron que tienen todos con su antecesor la misma diferencia de suceción: 1, 3, 5, 7, 9, 11 (en esta siceción entre cada número se lleva una diferencia de dos números).

Sumando la diferencia a cada numero se obtiee el siguiente número:

Segundo Tercero Cuarto
1+2(1)=3 1+2(2)=5 1+2(3)=7

1- Los números de la sucesíon son sus términos
2- La diferencia común es la resta de un númeron con el anterior
3-1=2, 5-3=2

3- Una sucesión es finita si tiene "n" términos, en caso contrario es infinito.

4- El término en el lugar "n" se llama
n-ésimo término.
La expresión para obtenerlo es:
Término nésimo {an=a1+d(n-1)} Un término d primero + diferencia de n-1 vez.

EJEMPLO:
Escribir los primeros 2 números de la sucesión:

a1= 2 an=a1+d
d= 1 an1=2+(-1)=1
an2=1+(-1)= 0
an3=0+(-1)=-1
an4=-1+(-1)=-2
an5=-2+(-1)=-3

Sucesión es = 1, 0 , -1, -2, -3

SUCESIONES ARTIMETICAS

an+b

A y B son constantes. A es la diferebcua entre un término y el anterior. N es el número deseado. (esta fórmula es útil cuando se dan algunos términos de la sucesión y se debe calcular la expresiòn algebráica del término n-ésimo.

SUCESION GEOMÉTRICA

Sus términos tienen la forma:

a1, a2, a3, a4..... an

a1,a1r,a1r2, a1r3, ...a1 rn4

La suma sw an sn de los términos de una sucesión es una serie .

Sucesión Serie

2,6,12,24,48, 3+6+12+24= S5 = 93

RAZÓN TASA Y PROPORCION

• Razón- Es la comparacion de 2 cantidades de igual unidad, Se representa como fraccion, separado por dos puntos o por la letra "a".

Ejemplo: 25/1 , 25:1, 25 a 1

• Tasa- Es la comparacion de dos unidades de diferente unidad.

Ejemplo: a,b diferente a c como 25km/1Lt.

• Proporción- Dos razones iguales son una proporción. Dos tasas iguales son una proporción.

Ejemplo: 2/3= 14/x ( regla de tres) = a 21

IMPORTANTE: REGLAS DE DESPEJE

si esta multiplicando pasa dividiendo y vice versa

si esta sumando pasa restando y vice versa

EJERCICIOS:

1) RAZÓN:¿Qué tanto porciento es 25.29 de 6.5?

25.29/6.5= 3.89 por (el 100%) es igual a 389%.

2) TAZA POR DIFERENTES UNIDADES: Un auto recorre en una hora y cuarto 100km ¿Cuánto reorrerá en 5 horas?

Un cuarto de hora en decimales es igual a 1.25

entonces 1.25hrs = 5hrs ___________ = 400km entonces en 5 horas recorre 400 km

100km = x km

3) Proporción: En la prepa 208 alumnos cursan el 6to semestre que representan 26% ¿ Cúantos alumnos tiene la prepa?

208 alumnos x alumnos de la prepa _______________=__________________ = 800 alumnos en total en la prepa.

26% que representan 100% de alumnos en total

Álgebra- Literales.

Álgebra y Literales

Álgebra elemental es la forma más básica del álgebra. A diferencia de la aritmética, en donde solo se usan los números y sus operaciones aritméticas (como +, −, ×, ÷), en álgebra los números son representados por símbolos (usualmente a, b,c, x, y, z).

Esto es útil porque:

• Permite la formulación general de leyes de aritmética (como a + b = b + a), y esto es el primer paso para una exploración sistemática de las propiedades de los números reales.
  
• Permite referirse a números "desconocidos", formular ecuaciones y el estudio de cómo resolverlas.
  
• Permite la formulación de relaciones funcionales.

EJEMPLOS:

1) a+4=4a

2) 6(a)-4=2a

Para formular y entender expresiones algebráicas es importante conocer el lenguaje algebráico.

Ejemplos:

• Tres veces un número más cinco: 3(a)+5
• Tres veces la suma de un número mas cinco: 3(a+5)
• Dos veces la suma de a y b: 2(a+b)
• Treinta disminuido en tres veces c : 30-3(c)
• Cincuenta menos el producto de diez por p : 50-10(p)

"Problemas algebráicos"

El idioma del álgebra es la ecuación. El científico Isaac Newton, en su manual de álgebra titulado Aritmética Universal escribió: "Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades basta con traducir dicho problema, del inglés u otra lengua al idioma algebraico"

EJEMPLOS:

1)En un taller fueron reparados 40 vehículos, entre coches y motos. El número total de ruedas de los vehículos reparados fue de 100. ¿Cuántos coches y cuántas motos se repararon?

100 RUEDAS

40 vehiculos

cada coche tiene 4 ruedas y las motos 2 ruedas entonces:

100x-40y= 60 entonces si 40y fueron reparados 10 fueron coches y 30 fueron motos.

2) Yo tengo el doble de casettes que juan y ambos tenemos 15. ¿Cuantos tengo mas que juan?

el doble de cds es 2x mas ¿? es igual a lo qe tienen ambos que es 15 entonces...

2x+x= 15

3x=15

x=15/3

x=5 entonces el doble de cds que tengo es 5.

3) Encuentra dos numeros sabiendo que la suma es igual a 24, y sabiendo que un número es el triple de otra

el triple es 3x mas x (¿?) que es igual a 24 entonces...

3x+x=24

4x=24

x=24/4

x= 6 es el primer número

y el triple de ese numero sería

6 por 3

6(3)= 18 es el triple del primer número.

PORCENTAJES%

En matemáticas, un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción de 100 (por ciento, que significa “de cada 100”). Es a menudo denotado utilizando el signo porcentaje %. Por ejemplo: "treinta y dos por ciento" se representa mediante 32 % y significa treinta y dos de cada cien.

Ejemplo:

a) 100-80% = 20% de 100

Problemas:

1)Si hoy han faltado a clase por enfermedad el 20%de los 30 alumnos/as, ¿cuántos alumnos han asistido?¿Cuántos alumnos/as han faltado?

Cantidad= 30 alumnos/as. tanto por ciento= 20% faltan

Han asistido a clase alumnos/as.Han faltado a clase

2) Juan va al centro comercial y compra una camisa de $500 con un 30% de descuento y un pantalon de $400 con un 20% de descuento ¿Cuanto gasto en total?

500 - 30%= ¿? 400-20%

500*.30 = 150.00 400*.20= 80.00 350+320=670 gasto por los 2:

500-150= 350 400-80= 320 $ 670

Fracciones

FRACCIONES

Fracciones Mixtas
Si dividimos un objeto o unidad en varias partes iguales, a cada una de ellas, o a un grupo de esas partes, se las denomina fracción. Las fracciones están formadas por dos números: el numerador y el denominador.

Procedimiento Suma de fracciones:

paso 1: Sacar comun denominador
paso 2: dividir entre el denominador de la primera fraccion.
paso 3: multiplicar por numerador
paso 4: sumar los 2 resultados que se multiplicaron y al final simplificar

Ejemplos:

a) 4/5+ 2/5= 6/5

b) 3/4 + 2/2= 7/4

Procedimiento Resta de fracciones:

paso 1: Sacar comun denominador
paso 2: dividir entre el denominador de la primera fraccion.
paso 3: multiplicar por numerador
paso 4: Restar los 2 resultados que se multiplicaron y al final simplificar

Ejemplo:

a) 6/4 - 1/2 =4/4 = 1

Procedimiento Multiplicacion de fracciones:

paso 1: multiplicar numerador por numerador
paso 2: multiplicar denominador por denominador

ejemplo:

a) 3/2 x 7/4= 21/8

Procedimiento Division de fracciones:

paso 1: multiplicar numerador por denominador
paso 2: multiplicar denominador por numerador

ejemplo:

a) 4/5 entre 3/9= 36/15

DECIMALES

Los números fraccionarios decimales pueden expresarse en otra forma llamada número decimal. A su vez, los números decimales podrán también expresarse como fracciones. Las fracciones impropias están formadas por una parte entera y una parte fraccionaria. En cambio, las fracciones propias sólo tendrán parte fraccionaria ya que su parte entera es igual a cero.

Ejemplos:

a) 325/ 100 = 300 entre 100 igual a 3.25

b) 1/3 = uno entre tres igual a .33